\( \tan^3(x) \)의 적분

유도 및 계산

다음 적분을 구하세요:

\[ \int \tan^3(x) \, dx \]

피적분 함수 \( \tan^3(x) \)를 \( \tan x \tan^2 x \)의 곱으로 나타냅니다:

\[ \int \tan^3(x) \, dx = \int \tan x \tan^2 x \, dx \]

삼각함수 항등식 \( \tan^2 x = \sec^2 x - 1 \)을 사용하여 적분식을 다음과 같이 씁니다:

\[ \int \tan^3(x) \, dx = \int \tan x (\sec^2 x - 1) \, dx \]

피적분 함수를 전개하고 적분을 두 개의 차로 나눕니다:

\[ \int \tan^3(x) \, dx = \int \tan x \sec^2 x \, dx - \int \tan x \, dx \]

\( \displaystyle \int \tan x \sec^2 x \, dx \)에 치환적분법을 사용합니다: \( u = \tan x \)로 놓으면 \( \dfrac{du}{dx} = \sec^2 x \) 또는 \( dx = \dfrac{1}{\sec^2 x} \, du \)가 됩니다. 이를 대입하면 다음과 같습니다:

\[ \int \tan^3(x) \, dx = \int u \sec^2 x \left(\dfrac{1}{\sec^2 x}\right) du - \int \tan x \, dx \]

식을 정리합니다:

\[ \int \tan^3(x) \, dx = \int u \, du - \int \tan x \, dx \]

기본 적분 공식인 \( \displaystyle \int u \, du = \dfrac{1}{2} u^2 \)과 잘 알려진 적분 공식 \( \displaystyle \int \tan x \, dx = \ln|\sec x| \)를 이용하여 계산합니다:

\[ \int \tan^3(x) \, dx = \dfrac{1}{2} u^2 - \ln|\sec x| + c \]

여기서 \( c \)는 적분상수입니다.

\( u = \tan x \)를 다시 대입하여 최종 정답을 구합니다: